ELEC271 W5-6

发表于 2022-05-07 更新于 2023-05-06 分类于 ELEC271 阅读次数： Valine：

频率响应：电容的游戏

本博客草草创建，简陋不堪。本人才疏学浅，笔记也不过给诸君作一参考。如有疑惑/错漏/建议还请使用这个匿名提问箱，我会一一回复。 不过现在本博客也增加了评论功能，你也可以直接在底下说。不过这个评论功能没有提醒……回复可能会不够及时。

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WEEK5 Frequency Response

Frequency Response这玩意儿我感觉一直似乎处在 “懂的都懂，不懂的我也不好说” 的情况。总之让我看看好不好说……

对于理想的纯电阻电路，是不存在frequent response这种东西的。但是只要我们加了什么二极管三极管，其实电路里就不可避免存在一些电容或者电感。那么课上也很明显可以看到，我们一般不讨论电感只考虑电容。而这些元器件它们的阻抗和电信号的频率是有关系的，因此叫frequency response。

东西	阻抗	性质
电阻	\(Z=R\)	一视同仁
电容	\(Z=\frac{1}{j\omega C}\)	低频高阻，高频低阻
电感	\(Z=j\omega L\)	低频低阻，高频高阻

首先我们对三极管进行一个典中点典之电路近似：

把一个网格电路变成单纯的并联。

此时考虑be两段电压，\(\mathrm{v}_{\mathrm{b}^{\prime} \mathrm{e}}=\mathrm{i}_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{r}_{b^{\prime}e} / / \mathrm{Z}_{c}\right)=i_{i} \frac{r_{b'e} / j \omega C}{r_{b^{\prime} e}+1 / j \omega C}\)且\(i_o=g_m\mathrm{v}_{b'e}=\beta_0i_i\) 于是： \[ A_{i} \equiv \frac{i_{o}}{i_{i}}=\frac{-g_mr_{b'e} / j \omega C}{r_{b^{\prime} e}+1 / j \omega C}=-\frac{g_mr_{b'e}}{r_{b^{\prime} e}j \omega C+1}=-\frac{\beta_0}{1+j \frac{\omega}{1/r_{b^{\prime} e}C}}=-\frac{\beta_0}{1+j \frac{\omega}{\omega_0}} \] 其中，\(\omega_0=\frac{1}{r_{b^{\prime} e}C}\)

还可以写成有关频率的形式(\(\omega=2\pi f\), \(f_0=\frac{1}{2\pi r_{b^{\prime}e}C}\)) \[ A_{i}=-\frac{\beta_0}{1+j \frac{\omega}{\omega_0}}=-\frac{\beta_0}{1+j \frac{f}{f_0}} \] 然而这是个复数，我们其实更看重放大倍数的绝对值。那么就求复数模长： \[ |A_{i}|=\frac{\beta_0}{\sqrt{1+(\frac{f}{f_0})^2}} \]

然后不同的频率会有不同的放大倍数，就得到了频率响应。

不过这丢失了复数自带的相位信息，因此还会有一个相位图： \[ \varphi=-arctan(\frac{f}{f_0}) \] 以下面这个简单的电路为例, 其中\(R=1/\pi\ \ohm,\ \ C=1/2\ mF,\ \ f_0=\frac{1}{2\pi RC}=1\ kHz\)

\[ A_{i}=\frac{V_{o}(1)}{V_{i}(2)}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}=\frac{1}{1+j\frac{f}{f_0}} \] 由此方程可以得到，我们的\(|A_{i}|\)在1k迎来拐点，而此时的相位差\(\varphi=-arctan(\frac{f}{f_0})=-arctan(1)=-45°\) 如图：