ELEC270 W10-11
ELEC270 WEEK10-11
前言
圣诞节:爽玩文明6。
圣诞节后:完蛋了。
如有疑惑/错漏/建议 还请使用这个匿名提问箱,我会一一回复。
https://www.tapechat.net/uu/5r0pL8/ZV9H0543
快写完了发现其实我探索的很多东西在奥本海姆那个版本信号与系统里都有过系统的讲解,感觉自己像个傻逼。如果奥本海姆那边学到什么新东西,也会加到前面的笔记里。
X.0 z Transform z变换
z变换是一个清晰简单的式子:
以及逆z变换:
X.1 重要性质
快速参考:z变换对表格与性质汇总
唯一指定重要性质: Time Delay
X.2 熟悉的陌生人
如果你看了我上一周的笔记关于拉普拉斯变换和幂级数视角转换的讨论,相信这一部分你肯定一点就通——或者不用点你自己就发现了。而且这是一件很有趣的事,因为当明白了我要说的这一点,你会发现他就是一句废话,他*就是*这个东西。但如果没看破没说破,可能贴在你脸上你自己都没发现。
先说结论:
例:
相当于
于是所谓Z变换就变成了复变函数洛朗展开的传统数学问题。
然后用这个视角看逆z变换就变得非常简单好理解了:围道积分只能求出洛朗级数
值得注意的是,我们的变化是有意义的:
考虑到课上我们接触到所有的z变换都是causal的,这就意味着我们只会遇到跟洛朗级数相关的情况。当然,这不代表z变换就不存在使用泰勒展开的情况,毕竟严格来说,泰勒展开是洛朗展开的一个子集。但(正幂)泰勒展开就意味着非causal的
X.2.5 笔记背后的故事
您若对此没有兴趣,可以通过博客侧边目录跳转到 X.3
当时我在做Z变换problem sheet的时候,对于其中一道题用了两个方法作答,发现他们出现了矛盾。不过我课上询问老师时老师表示他也不知道。让我po在discussion board 上以便后续解答。
我在discussion board 上的提问↓ 你也可以先别急着往下拉,跟着想想。如果没有被我绕进沟里,那说明你已经明白X.2的内容。
OK. But first, I need to clarify to you… this question is a little bit tricky. It's a special case in this situation.
好吧,上面那句英文是防止你余光一不小心瞄到答案。我想说,这仅仅是针对这个函数的特例。
因为
插曲
你所见到的思路是我整理过后的。事实上,我是先遇到这个问题,再学会拉普拉斯变换和幂级数视角转换的。那真是一段恶心的寻找之旅,因为你懂的……z变换就是洛朗展开本身,答案就在我眼皮子底下。我不可能找到其他任何更高级的,有关于z变换某种应用/性质/联系的解释,因为它就是它自己。
有趣的是,我是在睡梦中得到的答案。
X.3 ROC region of convergence 收敛域
1. region of convergence,显然不会包含奇点在内。所有ROC不含奇点 2. 幂级数的收敛与否只和|z|相关,所以收敛域是一个圆盘/圆环
若
引出性质:
3. 若
现在,设
对于我们causal的
它的ROC应该是这个样。
引出性质:
4. 对于causal的
反之,
5. 对于只有n<=0项的
再混合,
6. 对于两边都有的,把它拆成上述两种序列,ROC取交集。
这种情况分为两种可能
- 交集是圆环,那么ROC就是一个圆环。
- 交集为空,则无ROC,
不存在。
值得注意的是,当
而考虑到对于任意复数
这个也有用处,不过反正咱们用不着……但有时候用这个视角去看一些问题可能会带来新的思路。
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