ELEC270 W9

ELEC270 WEEK9

前言

最近DDL少了，但是却学不进去了。难受。

如有疑惑/错漏/建议 还请使用这个匿名提问箱，我会一一回复。

https://www.tapechat.net/uu/5r0pL8/ZV9H0543

Laplace Transform，看样子我们学的很浅很简单。以及，除去信号分析上的用途以外，拉普拉斯变换在解决微分方程方面也有很多用处，但我们是不会涉及啦~

9.0 Laplace Transform 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换和傅里叶变换差别不大，只是多了一项。

记：\(s=\sigma +i\omega\)

我真的搞不明白，怎么连这个s的意义都不讲？而且我查阅了advanced engineering mathematics，它上面居然也没有说! 啊？直接把这玩意当工具用了吗？难道工程数学都是这么教的吗？什么不求甚解，黑箱伙伴，我的天呐，要吐了！

则有拉普拉斯变换： \[ \mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt \] 以及拉普拉斯逆变换： \[ \mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi i}\int^{\sigma +i\omega}_{\sigma -i\omega}F(s)e^{ts}ds \] 当\(\sigma=0\)，\(s=i\omega\)，拉普拉斯变换当即退化成傅里叶变换(的形式，因为积分定义域不同)

拉普拉斯变换表：随便找的，还有一些关于拉普拉斯变换的性质……反正这玩意儿期末考试会给表的。

课上就教了这些，我不满足，但是搞太多乱七八糟额外的也没有什么用，我自己high了对大家没有好处，所以就围绕着这个式子把其中一些东西拆开讲一讲。

9.1 与傅里叶的区别

拉普拉斯变换和傅里叶变换的差别就在于 \(s=\sigma +i\omega\) 比 \(i\omega\) 多了个(正)实数 \(\sigma\)

如果我们对拉普拉斯变换做个变形： \[ \mathcal{L}[f(t)]=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt=\int^{\infty}_{0}[f(t)e^{-\sigma t}]e^{-i\omega t}dt=\int^{\infty}_{0}g(t)e^{-i\omega t}dt \] 这个 \(\sigma\) 起到的效果就是在傅里叶变换的基础上给原函数乘上了个 \(e^{-\sigma t}\)

可见，对于大部分信号来讲，乘上这样一个指数函数，他在正无穷处的极限都等于0了。当然也有例外，你只需要找一些增长速度比自然指数函数快的就行了……

因此，\(\sigma\) 可以理解为给输入信号增加了一个衰减因子

当然，反过来我们也可以理解为在傅立叶变换里面给正弦信号加了一个增长因子，其实效果也就等于输入信号衰减了捏~

为什么要衰减？因为有些信号用傅里叶变换是表示不出来的，比如\(e^t\).

我这里本来要说的是很多信号的，但实际上我们学习的傅里叶变换其实是广义傅里叶变换，适用范围远远超过了简单数学上定义的傅里叶变换。(因为\(\delta(t)\)的定义。这比我想象中复杂的多，暂且无法细讲，也不太可能细讲了)

而带衰减因子的拉普拉斯变换适用面就会更广。

9.2 \(\int^{\infty}_0\)，why？

一个常见的解释是， \(e^{-\sigma t}\) 在负轴方向上会增长信号而不是像正方向上一样衰减，积分结果反而不收敛了，于是我们人为定义它的积分范围是 \([0,\infty)\)

对于我们，老师说拉普拉斯用在causal system上所以t<0的部分都为0。

这里给出一个不是人为定义而是推导得到的理由，该角度来自MIT微分方程公开课 [Course18.03, Differential Equation, lecture19](讲的超级好！！！)

1.从泰勒级数开始

学过高数我们都很清楚，很多函数可以展开出一个泰勒级数： \[ g(x)=\sum^\infty_{n=0}a_nx^n \] 但是我们已经学过傅立叶级数了，用傅立叶级数的“变换”视角去看，这种级数就是从连续函数映射到离散函数的过程(\(f(n)=a_n\))

2.到某种连续变换

紧接着，就像从傅里叶级数走向傅里叶变换，我们将泰勒级数也拓展成一个连续的变换： \[ g(x)=\int^\infty_0f(t)x^tdt \]

此时这个东西呢，已经跟泰勒级数不一样了，但还看得出幂级数的影子。

接着，比较怪的事情就来了。

3.再变成\(e^t\)的形状

对于\(x^t\) 这种指数函数在求导/积分时的性质不好，出于应用考虑，我们将其转换为\(e^{tlnx}\)： \[ g(x)=\int^\infty_0f(t)e^{tlnx}dt \]

#####　４.引出s, 得到拉普拉斯

对于这样一个用积分定义的函数，我们需要保证右边的积分能够收敛到某个函数，这意味着x会有要求。

而在大部分情况下，我们需要让０＜ｘ＜１，该积分才会收敛。而当０＜ｘ＜１时，\(lnx<0\)

于是我们将 \(lnx\) 记作 \(-s\)

相应的，\(g(x)=g(e^{-s})\) , 记作\(F(s)\)

于是以上变换变为: \[ F(s)=\int^\infty_0f(s)e^{-st}dt \] 而这, 就是拉普拉斯变换。而之前疑惑的\((0,\infty)\)积分范围,早在第2步就已经得到。

此时的拉普拉斯变换是没有复数的，它只在实数范围内使用，用来解决微分方程什么的……

当我们将s的定义域拓展到复数域，\(s=\sigma +i\omega\) ，目前所说它和傅里叶变换的关系也就呼之欲出。

9.3 拉普拉斯逆变换

PPT上也有写，拉普拉斯逆变换： \[ \mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi i}\int^{\sigma +i\infty}_{\sigma -i\infty}F(s)e^{ts}ds \] 大家和复变也是老熟人了，看到 \(\frac{1}{2\pi i}\) 就马上想起奇点，想起留数——没错，\(\int^{\sigma +i\infty}_{\sigma -i\infty}\) 和留数法算实不定积分的 \(\int^{\infty}_{-\infty}\) 如出一辙。只不过从横着的实轴变成了实部为\(\sigma\)的竖着的虚轴，而其结果就是\(F(s)e^{ts}\)所有极点的留数之和！

为什么是所有？因为 \(\sigma\) 是拉普拉斯变换收敛域的最左端，而拉普拉斯变换若收敛，则收敛域中无极点。这就意味着所有极点都在\(z=(\sigma -i\infty,\sigma+i\infty)\) 的左侧，积分结果自然也就是所有极点的留数之和了： \[ \mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\sum Res[F(s)e^{ts}] \]