ELEC270 W8

发表于 2021-11-30 更新于 2021-12-03 分类于 ELEC270 阅读次数： Valine：

冲激响应——总得把手伸进黑箱捞一捞

ELEC270 WEEK8

DDL越来越多，差不多把我鲨了

如有疑惑/错漏/建议还请使用这个匿名提问箱，我会一一回复。

https://www.tapechat.net/uu/5r0pL8/ZV9H0543

Impulse Response学的东西很少，很简单，但咱们要理解为什么是Impulse Response.

Impulse Response, 指对着一个 linear time-invariant (LTI) system (以下简称 LTI system)输入一个\(\delta(t)\),系统会输出一个\(h(t)\).

于是，对于任意输入\(x(t)\), LTI system的输出为: \(y(t)=x(t)*h(t)\)

这东西本身没有什么问题，但是如果你之前没有接触过这个东西，你会不会产生疑问？

为什么要输入\(\delta(t)\)？其他的不行吗？Impulse Response有什么特殊的地方？

为什么其他\(x(t)\)会和\(\delta(t)\)扯上关系？凭什么\(y(t)=x(t)*h(t)\)？

为什么是\(y(t)=x(t)*h(t)\)？不能是\(y(t)=x(t)+h(t)\)?\(y(t)=x(t)h(t)\)?

linear time-invariant (LTI) system是傅里叶变换的天下，以上问题的解答也需要频域的视角才能作答。

首先,设想一下，对于一个Memoryless的系统，我们一直输入信号“x(t)=1”得到一个输出g(t)，那么，对于任意输入x(t)，可得到输出y(t)=x(t)g(t). 这样的结论想必非常好理解。

但很可惜，这里的系统只是LTI system，不一定Memoryless，怎么办呢？

好办，我们只需要把同样的过程挪到频域里操作就好辣！memory和Invertible都是相较于t而言的，通过傅里叶变换转换到频域之后，我们只需要关注线性就好了。

因为\(F(\delta(t))=1\) ，在频域，\(\delta(t)\)就是对应上文的一直输入信号“x(t)=1”，只不过变成了一直输入信号“X(\(\omega\))=1” 得到一个输出H(\(\omega\)), 逆变换到时域就是h(t).

于是，对于任意输入x(t)，可得到输出\(y(t)=F^{-1}[X(\omega)H(\omega)]=x(t)*h(t)\).

因为\(\delta(t)\)在频率上包含了所有频率的分量，因此它的冲击响应刻画了整个系统的性质。（而且操作起来方便快捷。

这也就是为什么要输入\(\delta(t)\)，为什么\(y(t)=x(t)*h(t)\).

当然，更主流的解释是因为任何信号的与\(\delta(t)\)卷积是它本身,于是信号可以分解成一系列\(\delta(t)\)的叠加。但我认为这个解释不够优雅(?)好吧，只是当时没想到而已。

不过我这个理解应该没什么问题，当时课上跟老师说了后他说可以。你们要是觉得这有哪里不行欢迎提问。

看图就完了

总之就是如果一系列 LTI systems 串在一起，他们之间的顺序并不会对结果产生影响。