《傅立叶分析导论》研读笔记
研读书目：《傅立叶分析导论》Fourier analysis: an introduction ( Elias M. Stein, Rami Shakarchi ) 由于这本书图书馆里只有一本但被我借走了所以想看的话我准备了PDF文件 中文版找了1万年没有找到。
会随着学习进度更新。
这本书是经典数学分析教材，不过我能不能把它学完就不一定了。看情况吧，希望能多学点。
本笔记并不会很详细，而且加入了个人理解会和书中的不一样，也有可能会有错误。只是做一个大致记录和把一些自己觉得有意义的东西做个总结。
2021/11/14
Chapter 1．The Genesis of Fourier analysis 傅里叶分析：起源
有一说一，翻开这本书之前确实没想到上来就和微分方程杠上了(ﾟДﾟ≡ﾟДﾟ)
对于一维波动微分方程，传统上我们使用行波得到达朗贝尔行波版通解。然鹅，使用驻波叠加也能得到另一种通解。从中，我们引出傅里叶变换的思想。
One-dimensional wave equation 一维波动微分方程
一根长L密度为\(\rho\)的绳子自由振动ing……为了分析其波方程，我们将绳子视作一系列质点u(x,y)被小弹簧前后相连上下震动的组合体。
……——o——o——o——……
上为质点 \(u(x-\delta x,y_{n-1})\) , \(u(x,y_{n})\), \(u(x+\delta x,y_{n+1})\)，每个质点的质量是\(\rho\delta x\)
任何物质都是有弹性的。分割到一定细致程度中间的连接可以被视作弹簧。那么由胡克定律可得其拉力和变化的距离成正比：F=k(x-x0)
由于力是速度的导数，速度是位移的导数，所以力是空间位置关于时间的的二阶导。而每个质点受到的力，则来自于它左右两边的质点。由上可得方程：(默认纵向差距比横向差距大得多。) \[ \rho\delta x y_{n}^{\prime\prime}= \frac{k}{\delta x}(y_{n-1}-y_{n})+\frac{k}{\delta x}(y_{n+1}-y_{n}) \] 化简： \[ \rho y_{n}^{\prime\prime}= \frac{k}{\delta x^2}(y_{n-1}+y_{n+1}-2y_{n}) \] 并将\(\delta x\)取极限： \[ \rho \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}= k\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} \] 再把参数都挪到一边去——\(a=\sqrt{k/\rho}\) \[ \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}= a^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} \]
这就是一个标准的一维波动微分方程
d'Alembert's formula 达朗贝尔公式：一维波动方程行波版通解
书上在做进一步推导的时候稍微有点麻烦，其实这边的话可以直接把上面那个波动方程进行因式分解： \[ (\frac{\partial ^2}{\partial t^2}- a^2\frac{\partial ^2}{\partial x^2})u=0\\ (\frac{\partial }{\partial t}- a\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial }{\partial t}+ a\frac{\partial}{\partial x})u=0 \]
\[ (\frac{\partial }{\partial t}- a\frac{\partial}{\partial x})v=0 ,\frac{\partial x}{\partial t}=a\\ Or\\(\frac{\partial }{\partial t}+ a\frac{\partial}{\partial x})u=v,\frac{\partial x}{\partial t}=-a \]
也就是说，在特定方向上，只要自变量x和t成a的比例，我们的方程就可以满足这个条件。那么上述有-a和a两个比例，也就是两个方向的曲线族，只要是由这两种曲线族所组成的方程就可以构成我们一维波动微分方程的通解。
那么设：\(\xi=x+at,\eta=x-at\)
则原方程变为： \[ \frac{\partial ^2u}{\partial \xi \partial \eta}=0 \] then we have： \[ u=F(\xi)+G(\eta)\\ u(x,t)=F(x+at)+G(x-at) \]
这个是式子是什么意思呢？F(x+at) 代表着从右往左传播的行波，G(x-at)代表着从左往右传播的行波。考虑到每个点都会给他左右两边的质点带来影响，因此有两个方向相反但波速相同的行波非常合理，而且该速度系数a也仅由其绳子本身特性所决定，符合物理上的结论。
接着加入初始条件：\(u(x,0)=f(x),\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)\) 即初值和一开始的变化率。
于是有： \[ \left\{ \begin{array}& F(x)+G(x)=f(x)\\ aF^{\prime}(x)-aG^{\prime}(x)=g(x) \end{array}\right. \] 得： \[ F(x)=\frac{1}2 [f(x)+\frac{1}a\int_{0}^{x}g(y)dy]+C_{1}\\ G(x)=\frac{1}2 [f(x)-\frac{1}a\int_{0}^{x}g(y)dy]+C_{2} \] 这个结果，就是 d'Alembert's formula， 达朗贝尔公式。该公式是相应初始条件的唯一解。
以上的过程反映了传统物理分析对于包括微分方程，微元分析啊之类的一个分析过程。那么接下来呢，同样的东西，我们也可以用傅里叶变换来做到：
Superposition of standing waves 叠加的驻波——傅里叶
施工中……
哇，比想象中难写！！
上面那段本来以为我理解了写出来会非常顺利，结果又是磕磕绊绊，啊，只能说难顶。哎呀，不过上面那个也就是一个引子，图一乐。但看的很爽啊，看的确实很爽。